Question

设A为n阶方阵，证明：秩r(A^n) = r(A^(n+1)) =
… = r(A^m) =

…
对任意的m>n成立。

Answer 1

设A的若当标准型为J，有可逆矩阵P，使得A=P^(-1)JP
若A的特征值没有0，说明A是满秩的，则r(A^k)=n，对任意k都成立。
若A有为0的特征值，设其对应的若当块为J_1、J_2……J_k。
由于A^n=(P^(-1)JP)^n=P^(-1)(J^n)P，因此r(A^n)=r(J^n)。
而(J_i)^n=(J_i)^(n+1)=(J_i)^(n+2)=...=(J_i)^(m)=...=O，对i=1,2……k。
则r(J^n)=r(J^(n+1))=r(J^(n+2))=...=r(J^m)=...
对应的有r(A^n) = r(A^(n+1)) =
… = r(A^m) =

…

如果不熟悉若当标准型的话，可以证明A^nX=0与A^(n+1)X=0同解，这种方法可以见参考资料。