Question

求教一道数学题

证明：4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c至少有一个小于1的正根

Answer 1

证：
设F(x)＝ax^4＋bx^3＋cx^2－(a+b+c)x，
则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
且F(0)＝0，F(1)＝0，
由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0,1)，使得F'(ξ)＝0。
而F'(x)＝4ax^3＋3bx^2＋2cx－（a+b+c），
所以ξ是方程4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c的根。
这说明4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c在（0，1）内一定有一个根。

Answer 2

证：
设F(x)＝ax^4＋bx^3＋cx^2－(a+b+c)x，
则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
且F(0)＝0，F(1)＝0，
由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0,1)，使得F'(ξ)＝0。这说明4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c在（0，1）内一定有一个根。

Answer 3

好吧。。不懂。。

Answer 4

没教呢!