Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

Answer 1

1）是平行四边形。因为DE⊥BC，AC⊥BC，故FD∥AC；
另外AF=AE，所以∠F=∠AEF，
又DE为BC垂直平分线，所以BE=CE，所以∠BED=∠CED，又∠BED=∠AEF，所以∠F=∠BED=∠CED，所以AF∥CE，故四边形FACE为平行四边形。

2）若ACEF为菱形，从1）中知四边形FACE为平行四边形，
则AF=EF
则△AEF为等边三角形
则∠AEF=∠BED=60°
则∠B=90°-∠BED=30°
故当∠B=30°时，ACEF为菱形。

3）若ACEF为正方形，
则AF=FE，AF=AE，此时∠F=90°
则△AFE为等边三角形，所以∠F=60°
显然两者不能共存。故ACEF不可能为正方形。