Question

实数x,y满足3│x+1│+2│y-1│≤6,则2x-3y的最大值是

Answer 1

很简单！
分别画出直线L1：3(x+1)+2(y-1)=6、L2：3(x+1)-2(y-1)=6、L3：-3(x+1)+2(y-1)=6、L4：-3(x+1)-2(y-1)=6.
可以得到由这四条直线围成的菱形闭合区域。所以x、y的取值是在此闭合区域内及其边界上。
再画出直线2x-3y=0，此直线穿过闭合区域。平行移动直线，可知：在L1与L3的交点（-1，4）处取得最小值-14，在L2与L4的交点（-1，-2）处取得最大值4.

追问

那你知道-1的那种解法为什么不对吗

追答

因为他开始就错了，|r|≤1，r∈[-1,1]而不是r∈[0,1].
∴当r=-1,cos2t=-1时，取得最大值=-5-1×(-5/2-13/2)=4.

Answer 2

3│x+1│+2│y-1│≤6

│x+1│/2+│y-1│/3≤1

x=-1+2rcos²t
y=1+3rsin²t
0<=r<=1
所以
2x-3y
=-2+4rcos²t-3-9rsin²t
=-5+r(4cos²t-9sin²t)
=-5+r(2(1+cos2t)-9/2 *(1-cos2t))
=-5r[-5/2+13/2cos2t]
所以
最大值=-5×1×【-5/2-13/2】
=5×9
=45

追问

不可能那么大

追答

2x-3y
=-2+4rcos²t-3-9rsin²t
=-5+r(4cos²t-9sin²t)
=-5+r(2(1+cos2t)-9/2 *(1-cos2t))
=-5+r[-5/2+13/2cos2t]
所以
最大值=-5+1×【-5/2+13/2】
=-5+4
=-1

Answer 3

3│x+1│+2│y-1│≤6
x=0 y=0 3│x+1│+2│y-1│=6
x>0 y>0
3x+2y≤5 ①
x>0 y<0
3x-2y≤1 ②
x<0 y<0
-3x-2y≤7 ③
①+②
6x≤6
2x≤2 ④
②+③
-4y≤8
-3y≤6 ⑤
④+⑤
2x-3y≤8
最大值是8

Answer 4

思路：可以先研究|x|+|y|=6与|x+1|+|y-1|=6的图像的区别和联系，联想图像平移，进而演变为|x|+|y|<=6,再研究3|x|+2|y|<=6,再研究
3|x+1|+2|y-1|<=6的图像，利用树形结合和线性规划可以解决