Question

微分方程y''-2y'+2y=e^x的通解

Answer 1

对应的其次方程为: y''-2y'+2y=0
特征方程为 r^2-2r+2=0
特征根为: r=1±i
所以其次方程的解为 e^x (Ccosx+Dsinx)
又1 [e^(1x)cos0x+sin0x] 不是特征根
所以原方程的解为 e^x (Ccosx+Dsinx) + y*
显然y=e^x是原方程的特解
所以原方程的通解为: e^x (Ccosx+Dsinx) + e^x

Answer 2

特征方程
r^2-2r+2=0
r=1±i
齐次通解y=e^x(C1cosx+C2sinx)
设其特解是y=ae^x
y''=y'=y代入原方程得
a=1
所以特解是y=e^x
原方程的通解是
y=e^x(C1cosx+C2sinx)+e^x

追问

特解的设定有什么规律么？

追答

有啊。如果不麻烦的话，你去青一色大学生吧，找个学习帖，里面有的。你也可以看书。因为这里帖不上地址。

追问

要确定特解的形式要先看y''+py'+qy=f(x)中f(x)的形式吧，然后再看特征根来确定特解形式是吧？
这题是因为f(x)=e^x，所以才判断属于f(x)=P(x)e^ax形式，然后因为α不是特征根，所以确定特解形式是y(x)=ae^x
这么理解对不？

追答

还要看特解的形式，两者结合才行