Question

数学分析考研题

1.设z为x,y的可微函数，试将方程(x^2)*（z对x的偏导数）+(y^2)*（z对y的偏导数）=z^2变换为w=w（u，v）的方程，其中x=u，y=u/(1+uv)，z=u/(1+uw)。

Answer 1

du/dy
=1/(dy/du)
=(1+uv)^2
dv/dy
=1/(dy/dv)
=-(1+uv)^2/u^2
dz/dx
=dz/du*du/dx+dz/dw*dw/du*du/dx
=[(1+uw)-u(w+udw/du)]/(1+uw)^2*1-u^2/(1+uw)^2*dw/du*1
=1/(1+uw)^2
dz/dy
=dz/du*du/dy+dz/dw*(dw/du*du/dy+dw/dv*dv/dy)
=[(1+uw)-u(w+udw/du)]/(1+uw)^2*(1+uv)^2
-u^2/(1+uw)^2*((1+uv)^2*dw/du-(1+uv)^2/u^2*dw/dv)
x^2*dz/dx+y^2*dz/dy
=x^2*[1/(1+uw)^2]+y^2*{[(1+uw)-u(w+udw/du)]/(1+uw)^2*(1+uv)^2-u^2/(1+uw)^2*((1+uv)^2*dw/du-(1+uv)^2/u^2*dw/dv)}
=u^2*[1/(1+uw)^2]+[u/(1+uv)^2]^2*{[(1+uw)-u(w+udw/du)]/(1+uw)^2*(1+uv)^2-u^2/(1+uw)^2*((1+uv)^2*dw/du-(1+uv)^2/u^2*dw/dv)}=...=u^2/(1+uw)^2
=>(1-u^2*dw/du)=u^2*dw/du-dw/dv
=>2u^2*dw/du-dw/dv=1

追问

麻烦请问“dz/dx=dz/du*du/dx+dz/dw*dw/du*du/dx
=[(1+uw)-u(w+udw/du)]/(1+uw)^2*1-u^2/(1+uw)^2*dw/du*1”是怎么得出来的啊？

追答

z依赖于u和w变化，u依赖于x变化却不依赖于y，w依赖于u和v变化，所以本来应是
dz/dx=dz/du*du/dx+dz/dw*(dw/du*du/dx+dw/dv*dv/dx)
但v却不依赖于x变化，所以上式为
dz/dx=dz/du*du/dx+dz/dw*(dw/du*du/dx+0)=dz/du*du/dx+dz/dw*dw/du*du/dx
至于下一个你问的等号为什么成立，你还是看看前面的步骤吧，（每个d*/d#都是什么），最好写到纸上再带到这个式子里。
做这种题主要先找出变量的依赖关系图树，而后再做才能心里有个数。
不明白再问我哈