Question

线性代数问题若干（矩阵问题），求解

1.初级矩阵，结论正确的是：D

a：相加的和胃初等矩阵，b：相乘的 积仍为初等矩阵。C转置的和仍为初等，D都是可逆矩阵 （我选了B
2 ， A为N阶方阵。A^2=A. C
A： A=0， B 若A不可逆，则A=0 C ，若A可逆 ，A=E。 D A=E （选对了，想知道B怎么错了
3，设 A.B为同阶可逆矩阵。 A
A：存在可逆矩阵P,Q,,使PAQ=B B:存在可逆矩阵P，使 P^-1AP=B, C：存在可逆矩阵P，使P(转置) AP=B D: AB= BA （选错了选了D）

Answer 1

1.初等矩阵必然可逆，这个毫无疑问。而且初等矩阵的逆你必须要记住
(1)Eij的逆，还是Eij
(2)Eij(k)的逆，是Eij(-k)
(3)Ei(k)的逆，是Ei(1/k)

初等矩阵都是用单位矩阵进行一次初等变换得到的，初等变换不改变矩阵的秩，那么初等矩阵的秩等于同阶单位矩阵的秩，显然是满秩，显然可逆。
初等矩阵，是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，如果你把两个初等矩阵相乘，就相当于又进行了一次初等变换，就不能叫做初等矩阵了。

2.B，若A不可逆，则A=0。
A^2=A,移项得A^2-A=0，写出特征多项式λ^2-λ=0，解出可能特征值是0,1（不确定有几个，也不确定有没有）
如果特征值是0,0,1，秩就是1，此时A也不可逆，但A不为0
可以看出，A=0的话，确实满足A^2=A,但是A^2=A完全无法推出A=0

另外你可以这样想。
我们知道，当A的秩是1的时候，有公式A^n=k^(n-1)A
那么很显然，当n=2，k=1的时候，任何A都可以满足题设条件。
比如A= -1 -1 -1
1 1 1
1 1 1
你自己算一下，看看A^2是不是等于A。这样的例子还可以取很多，只要你保证，秩是1，对角线和是1，就可以了
2 2 2
-1 -1 -1
0 0 0 不也是嘛，但是他们都不是0矩阵，这样的例子能举出无数个

要证明一个矩阵A=0，两种方法：1.证明r(A)=0, 2.证明所有元素都是0.其他方法都是不靠谱的。

3.你选D有什么道理么？同阶可逆能得到可交换？没道理吧
A选项，A，B是同阶可逆的，所以A，B的秩相同。A,B等价
存在可逆矩阵P,Q,,使PAQ=B，意思就是A可以由初等变换得到B，也就是A，B等价
或者你可以这么看，A可以由初等变换得到B，初等变换不改变秩，那么A,B秩相同

Answer 2

1, 初等矩阵是由单位矩阵经一次初等变换得到的, 它们的行列式分别等于 -1, k≠0, 1, 仍可逆.
相加或相乘得到是就不是初等矩阵了(由定义)

2. A=
1 0
0 0
满足 A^2=A, 但A≠0.

3. 矩阵乘法不满足交换律, 所以(D)不对.
可逆矩阵的秩都是n, 秩相同则等价, 故(A)正确.