Question

这个二阶非齐次线性微分方程咋解?给个详细点的过程

Answer 1

套公式
1.先求齐次的通解

y''-2y'+5y=e^x sin2x
特征方程
r²-2r+5=0
r=1±2i
Y=e^x(C1cos2x+C2sin2x)
2.非齐次的特解

y''-2y'+5y=e^x sin2x
特征根r=1±2i
λ=1，Pl(x)=0，Pn(x)=1，ω=2
λ+ωi=1+2i
所以k=1
y*=xe^x(Acos2x+Bsin2x)=Axe^xcos2x+Bxe^xsin2x
y*'=A(e^x+xe^x)cos2x-2Axe^xsin2x+B(e^x+xe^x)sin2x+2Bxe^xcos2x
=(Ae^x+Axe^x+2Bxe^x)cos2x+(-2Axe^x+Be^x+Bxe^x)sin2x
y*''=(Ae^x+Ae^x+Axe^x+2Be^x+2Bxe^x)cos2x-2(Ae^x+Axe^x+2Bxe^x)sin2x+(-2Ae^x-2Axe^x+Be^x+Be^x+Bxe^x)sin2x+2(-2Axe^x+Be^x+Bxe^x)cos2x
=(2Ae^x+Axe^x+2Be^x+2Bxe^x-4Axe^x+2Be^x+2Bxe^x)cos2x+(-2Ae^x-2Axe^x-4Bxe^x-2Ae^x-2Axe^x+2Be^x+Bxe^x)sin2x
=(2Ae^x-3Axe^x+4Be^x+4Bxe^x)cos2x+(-4Ae^x-4Axe^x-3Bxe^x+2Be^x)sin2x
y*''-2y'+5y
=(2Ae^x-3Axe^x+4Be^x+4Bxe^x-2Ae^x-2Axe^x-4Bxe^x+5Axe^x)cos2x+(-4Ae^x-4Axe^x-3Bxe^x+2Be^x+4Axe^x-2Be^x-2Bxe^x+5Bxe^x)sin2x
=4Be^xcos2x-4Ae^xsin2x
=e^xsin2x
得B=0，A=-1/4
所以y*=(-1/4)xe^xcos2x
综上，y=Y+y*=e^x(C1cos2x+C2sin2x)+(-1/4)xe^xcos2x

追答

算死我了。。。

追问

哥们，太给力了👍👍 ，绝对牛人

Answer 2

看书自己算么

追问

中间带入原方程那步老是算错😂

追答

算这个有好几种方法，可能是你太懒了

追问

能帮忙算下中间步骤吗？我对下哪错了

追答

我不会，已经忘了

上面有个大神给你算了