Question

设不恒为常数的函数f（x）在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)。证明：至少存在一点ξ∈(a，b...

设不恒为常数的函数f（x）在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)。证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)>0

Answer 1

反证法
假设f(x)在区间（a,b)内任一点x，总有f'(x)≤0（不恒为0，否则f(x)为常数）则f(x)为减函数，f(a)<f(b),与已知矛盾。故至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)>0.

Answer 2

用反证法更快：
假设f(x)在（a,b)内任一点x，总有f'(x)≤0
当导数恒为0，f(x)为常数，与题设矛盾；
否则f(x)为减函数，f(a)<f(b),与已知矛盾。
故至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)>0.
不清楚，再问！！

Answer 3

在(a，b)取一点c, 若f(c)<f(a)=f(b),由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(c，b)，f'(ξ1)= (f(b)-f(c)) /(b-c) > 0 若f(c)>f(a)=f(b),存在一点ξ2∈(a，c)，f'(ξ2)= (f(c)-f(a)) /(c-a) > 0 ,得证。