Question

微积分数学 一个小问题

微积分数学 一个小问题请帮忙解下这个式子

Answer 1

解：借用“随机变量X~N(0,1)，密度函数f(x)=[1/[√(2π)]e^(-x²/2)，∫(-∞,∞)f(x)dx=1”的性质求解。
∵随机变量X~N(0,1)，f(x)=[1/[√(2π)]e^(-x²/2)，∴∫(-∞,∞)f(x)dx=1，即有∫(0,∞)]e^(-x²/2)dx=√(2π)/2。
令x=t/a(a>0)，易得∫(0,∞)e^(-x²/(2a²)dt=a√(2π)/2。
∴原式=(1/a²)∫(0,∞)e^(-x²/(2a²)dx=√(2π)/(2a)。
供参考。

追问

∴∫(-∞,∞)f(x)dx=1，即有∫(0,∞)]e^(-x²/2)dx=√(2π)/2。 为啥∫(0,∞)]e^(-x²/2)dx=√(2π)/2？