Question

已知实系数多项式P(x)仅有实根，证明：P(x)+P'(x)也仅有实根。

Answer 1

设P(x)有t个不同实根分别为x1<⋯<xt且重数分别为s1,⋯,st, 满足∑si=n

那么作为导函数根的重数为s1−1,⋯,st−1,

构造F(x)=P(x)e^x, 

由Rolle定理, 存在ξi∈(xi,xi+1),(i=1,2,⋯,t−1)使得

P(ξi)+P'(ξi)=0

由广义Rolle定理，存在ξ0∈(-∞, x1)使得

P(ξ0)+P'(ξ0)=0

上面恰好找到了

t+∑(si−1)=n

个实根，而P(x)+P'(x)只有这么多根，因此P(x)+P'(x)仅有实根。

参考：

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