Question

P(x)是最高项系数为1的多项式，M是它的最大实根，求证：P'（M）≥0

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Answer 1

反证法。设 P '(M)<0 ，
则函数在 M 的小邻域内是减函数，
由于 P(M)=0 ，因此存在 x0>M 使 P(M)<0 ，
因为 P(x) 最高次项的系数为 1 > 0 ，因此当 x 趋于 +∞ 时，P(x) 趋于 +∞ ，
这说明函数在（x0，+∞）内至少存在零点，
这与 M 是最大零点矛盾，
所以 P'(M)>=0 。