Question

圆内过一点P作弦，为什么最短弦是垂直于过点P的直径的弦

如图：在圆O内有一点P，AB为直径，过P点作AB的垂线交圆周与点C、D，垂足为P，求：为什么CD是经过点P最短的弦。

Answer 1

过P点做任意一条弦EF，由相交弦定理得EP乘PF等于CP乘PD，由垂径定理可知CP等于PD，即CP得平方等于EP乘PF，设EP为a，PF为b，CP为c，所以c²＝ab，4c²＝4ab 

因为（a-b)²＝a²+b²-2ab   因为a≠b所以（a-b)²＞0  即a²+b²＞2ab 

所以（a+b)²＝a²+b²+2ab＞4ab，即（a+b)²＞4c² 所以a+b＞2c  所以弦CD最短

Answer 2

CD=2CP=2√（OC²-OP²）

过P作任意直线的L。过O作OM⊥L，交于M，OP≥OM（M跟P重合取等号）
【因为△OMP是直角三角形，OP为斜边】
弦长=2√（R²-OM²）
若要弦长最小，上式中R是定的，那就要OM最大，所以M跟P重合！