Question

已知函数f(x)=loga(-x^2+ax+3)

一、已知函数f（x）=log a（-x^2+ax+3）（a＞0且a≠1）
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在[1，2]上的最大值是2？若存在，求出a的值。
二、定义在R上的函数f（x）满足：对于任意实数a，b总有f（a+b）=f（a）·f（b），当x＞0时，0＜f（x）＜1，且f（1）=1/2
（1）解关于x的不等式f（kx^2-5kx+6k）·f（-x^2+6x-7）＞1/4（k∈R）
（2）若x∈[-1,1]，求证：（8^k+27^k+1）/3≥（6^k·f（x））/2（k∈R）

Answer 1

一1,设g(x)=-x^2+ax+3,g(0)>0,g(2)>0 .......a>1/2
2,若0<a<1,f(x)max=f(1)=loga(a+2)=2,a^2=a+2,a=2或-1舍去
若a>1,f(x)max=f(2)=loga(2a-1)=2,a^2=2a-1,a=1舍去
故不存在.
二.1,令a=b=1得到f(2)=1/4,令b=0,得到f(0)=1
f（kx^2-5kx+6k）·f（-x^2+6x-7）＞1/4
f[(k-1)x^2+(6-5k)+(6k-7)]>f(2)
在求解下f(x)单调性
1.令b=-a,且a＞0
所以f(a)*f(-a)=f(0)=1＞0
因为f(a)＞0
所以f(-a)＞0
所以无论x取何值都有f(x)＞0
2.令a=b=0,则f(0)=f(0)*f(0),因为x≥0时,f(x)≥1,所以f(0)=1
任取m,n∈R且m小于n
所以n/m＞1
因为f[m+(n-m)]=f(m)*f(n-m)
所以f(n)/f(m)=f(n-m)
因为n-m＞0
所以f(n-m)＞1
所以f(n)/f(m)＞1
所以f(x)在R上是增函数
所以有
(k-1)x^2+(6-5k)+(6k-7)>2
在求解即可,需要对k讨论.
2由单调性奇偶性得出.x∈[-1,1]，f(x)值域,右边范围在求出,在结合左边比较可得证,限于篇幅不多赘述了.我把所证变形下看的清楚些.f(x)《g（k），g（k）=（2/3)*[(8^k+27^k+1)/6^k],其中f(x),g(k)都是由单调性分别给出f(x)max,g（k）min,由f(x)max《g（k）min即的所证

Answer 2

一、1) x∈[0，2]时, -x^2+ax+3>0恒成立
a> (x²-3) / x =x - 3/x 这个函数是递增的，当x=2时有最大值1/2
所以a>1/2
2)①若a>1, 则 g(x)= -x^2+ax+3 在[1，2]上有最大值a²
若对称轴x=a/2≤1，即1<a≤2, g(x)max=g(1)=a+2=a²得a=2，a=-1舍去
若对称轴x=a/2≥2,即a≥4，g(x)max=g(2)=2a-1=a²得 a=1舍去
若1<a/2<2，即2<a<4， g(x)max=g(a/2)=a²/4 +3=a² 得a=2
②若0<a<1,则 g(x)= -x^2+ax+3 在[1，2]上有最小值a²
因为对称轴x=a/2<1，g(x)min=g(2)=2a-1=a² 得 a=1舍去
综上a=2
二、设0<x1<x2
则 f(x1 +(x2 -x1)) = f(x1)f(x2-x1)
即 f(x2)/ f(x1) = f(x2-x1)<1 即f(x2) < f(x1) f(x)递减
1) 不等式左边=f((k-1)x²+(6-5k)x+6k-7)
令a=b=1得f(2)=f(1)f(1)=1/4
原不等式化为：f((k-1)x²+(6-5k)x+6k-7) > f(2)
根据f(x)递减， ((k-1)x²+(6-5k)x+6k-7)<2
解不等式即可。
2）令a=b=0可知f(0)=1
从而f(0)=f(x)f(-x)=1 f(-x)=1 /f(x)
由1）知f(x)递减，所以x∈[-1,1]时最大值是f(-1)=2
原不等式移项：2/3（8^k+27^k+1）/6^k ≥f(x)
只要证明左边的最小值大于右边的最大值f(x)max=2即可。
即 8^k+27^k+1 ≥ 3×6^k而这是显然的

Answer 3

1,设g(x)=-x^2+ax+3,g(0)>0,g(2)>0 .......a>1/2
2,若0<a<1,f(x)max=f(1)=loga(a+2)=2,a^2=a+2,a=2或-1舍去。
若a>1,f(x)max=f(2)=loga(2a-1)=2,a^2=2a-1,a=1舍去。
故不存在.。
二.1,令a=b=1得到f(2)=1/4,令b=0,得到f(0)=1。
f（kx^2-5kx+6k）·f（-x^2+6x-7）＞1/4。
f[(k-1)x^2+(6-5k)+(6k-7)]>f(2)。
在求解下f(x)单调性。
1.令b=-a,且a＞0。
所以f(a)*f(-a)=f(0)=1＞0。
因为f(a)＞0。
所以f(-a)＞0。
所以无论x取何值都有f(x)＞0。
2.令a=b=0,则f(0)=f(0)*f(0),因为x≥0时,f(x)≥1,所以f(0)=1。
取m,n∈R且m小于n
所以n/m＞1
因为f[m+(n-m)]=f(m)*f(n-m)
所以f(n)/f(m)=f(n-m)
因为n-m＞0
所以f(n-m)＞1
所以f(n)/f(m)＞1
所以f(x)在R上是增函数
所以有
(k-1)x^2+(6-5k)+(6k-7)>2
在求解即可,需要对k讨论.
2由单调性奇偶性得出.x∈[-1,1]，f(x)值域,右边范围在求出,在结合左边比较可得证。

Answer 4

（1）当x=0时，f（0）=log a（3）
当x=2时，f（2）=log a（-4+2a+3）
因为要是f（x）有意义，-4+2a+3＞0
a＞1/2
又因为 a＞0且a≠1
综上所述， 1/2 ＜a＜1
（2）)①若a>1, 则 g(x)= -x^2+ax+3 在[1，2]上有最大值a²
若对称轴x=a/2≤1，即1<a≤2, g(x)max=g(1)=a+2=a²得a=2，a=-1舍去
若对称轴x=a/2≥2,即a≥4，g(x)max=g(2)=2a-1=a²得 a=1舍去
若1<a/2<2，即2<a<4， g(x)max=g(a/2)=a²/4 +3=a² 得a=2
②若0<a<1,则 g(x)= -x^2+ax+3 在[1，2]上有最小值a²
因为对称轴x=a/2<1，g(x)min=g(2)=2a-1=a² 得 a=1舍去
综上a=2
二、设0<x1<x2
则 f(x1 +(x2 -x1)) = f(x1)f(x2-x1)
即 f(x2)/ f(x1) = f(x2-x1)<1 即f(x2) < f(x1) f(x)递减
1) 不等式左边=f((k-1)x²+(6-5k)x+6k-7)
令a=b=1得f(2)=f(1)f(1)=1/4
原不等式化为：f((k-1)x²+(6-5k)x+6k-7) > f(2)
根据f(x)递减， ((k-1)x²+(6-5k)x+6k-7)<2
解不等式即可。
2）令a=b=0可知f(0)=1
从而f(0)=f(x)f(-x)=1 f(-x)=1 /f(x)
由1）知f(x)递减，所以x∈[-1,1]时最大值是f(-1)=2
原不等式移项：2/3（8^k+27^k+1）/6^k ≥f(x)
只要证明左边的最小值大于右边的最大值f(x)max=2即可。
即 8^k+27^k+1 ≥ 3×6^k而这是显然的