Question

1/(1+x^2)^2的不定积分

1/(1+x^2)^2的不定积分不用换元法，老师说用另一种方法。好像是分部积分

Answer 1

∫dx/[(1+x)(1+x²)]=(1/2)∫dx/(1+x)+(1/2)∫(1-x)/(1+x²)dx=(1/2)∫dx/(1+x)+(1/2)∫dx/(1+x²)-(1/2)∫x/(1+x²)dx=(1/2)∫d(1+x)/(1+x)+(1/2)∫dx/(1+x²)-(1/4)∫d(1+x²)/(1+x²)=(1/2)ln(1+x)+(1/2)arctanx-(1/4)ln(1+x²)+C=(1/2)arctanx+ln[√(1+x)/(1+x²)^¼]+C分式分裂过程看下面：_________________________________________________令1/[(1+x)(1+x²)]=A/(1+x)+(Bx+C)/(1+x²)1=A(1+x²)+(Bx+C)(1+x)1=A+Ax²+Bx+Bx²+Cx+C1=(A+B)x²+(B+C)x+(A+C){A+B=0→B=-A{B+C=0→C=-B=A{A+C=1→C=1-AC=1-A→A=1-A→2A=1→A=1/2=C，B=-1/2

Answer 2

∫1/(1+x²)² dx＝-1/2∫xd1/(1+x²)＝-1/2x/(1+x²)+1/2∫1/(1+x²)dx＝1/2arctanx-1/2x/(1+x²)

Answer 3

上下同乘x然后凑微分。分部。答案和楼上一样的