Question

关于MATLAB的一道问题。找出下面方程的极值点： f(x; y) = x^2+y^2-x*y^2-4 确定哪些是极大值极小值。

找出下面方程的极值点：
f(x; y) = x^2+y^2-x*y^2-4
确定哪些是极大值，哪些是极小值。
要有MATLAB程序。

Answer 1

只有一个极值点(0,0)，为极小值点。程序及说明见下。

% 定义函数
syms x y
f = x^2+y^2-x*y^2-4;

% 首先根据df/dx=0, df/dy=0求出驻点
J = jacobian(f,[x y]);
[X Y] = solve(J(1),J(2));

% 对所有的驻点，计算黑塞矩阵及其行列式
% 从黑塞矩阵行列式可见，驻点(0,0)是极值点，而另外两个是鞍点
% 又进一步根据(0,0)处f对x而阶导数为正可判断，该点为局部极小点
J2 = jacobian(J.',[x y]);
for i=1:length(X)
H = subs(J2,{x,y},{X(i),Y(i)})
d = det(H)
end

% 画出局部极小点附近的曲面
ezmesh(f,[-.5 .5])

追问

谢谢你的答案，不过我们没有学hessian matrix相关的内容，能不能用求一阶二阶导数的方法做呢？

追答

黑塞矩阵实际上就是由四个二阶导数构成的2x2矩阵。
判断一个驻点是极值点或鞍点需要用到它，不太好绕开。
当然，也可以写成二阶导数的表达式，具体可参见wiki上面的条目（不贴链接了，贴链接经常会导致回答无法提交，恶心的百度知道）。

或者你换用下面的代码吧。
f_x = diff(f,x);
f_y = diff(f,y);
[X Y] = solve(f_x,f_y)

f_xx = diff(f_x,x);
f_xy = diff(f_x,y);
f_yx = diff(f_y,x);
f_yy = diff(f_y,y);

d = f_xx*f_yy - f_xy*f_yx
for i=1:length(X)
subs(d,{x,y},{X(i),Y(i)})
end

Answer 2

x*y^2是x*(y^2)还是(xy)^2

追问

X*(Y^2)