Question

已知函数f(x)对于任意实数x,y均满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，则f(x)

已知函数f(x)对于任意实数x,y均满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，则f(x)已知函数f(x)对于任意实数x,y均满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，请问f(x)是不是一定为奇函数？为什么？

Answer 1

已知函数f(x)对任意实数x,y,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证f(x)为偶函数
首先令y=0代入得 f（x）+f（x）=2f（x）f（0）
得f（0）=1
则令x=0代入
得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）
由于f（0）=1
所以f（y）+f（-y）=2f（y）
所以f（-y）=f（y）
对于任意实数都有f（-y）=f（y）
所以函数为偶函数.

Answer 2

将y＝x和y＝-x分别代入，两式联立得到f(x)＝0（既奇又偶或者f(x)＝f(-x)（偶函数）

Answer 3

见图