Question

∫∫|cos(x+y)|dxdy 其中A=[0,π]*[0,π] 这种绝对值的二重积分要怎麼做？

求详细过程

Answer 1

解：∵A=[0,π]*[0,π]
∴0≤x+y≤2π
∵当0≤x+y≤π/2时，cos(x+y)≥0
当π/2≤x+y≤3π/2时，cos(x+y)≤0
当3π/2≤x+y≤2π时，cos(x+y)≥0
∴∫∫|cos(x+y)|dxdy=∫<0,π/2>dx[∫<0,π/2-x>cos(x+y)dy-∫<π/2-x,π>cos(x+y)dy]
+∫<π/2,π>dx[-∫<0,3π/2-x>cos(x+y)dy+∫<3π/2-x,π>cos(x+y)dy]
=∫<0,π/2>[(sin(π/2)-sinx)-(sin(π+x)-sin(π/2))]dx
+∫<π/2,π>[(sin(π+x)-sin(3π/2))-(sin(3π/2)-sinx)]dx
=2∫<0,π/2>dx+2∫<π/2,π>dx
=2*(π/2)+2*(π-π/2)
=2π。

Answer 2

第一步：
方法一：将x+y代换为u，x-y代换为V；
方法二：cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny；

第二步：确定区间，将绝对值去掉，变成分段积分。

Answer 3

积分区域为矩形，不过原点的对角线以下被积函数为cos(x+y)，以上为-cos(x+y).