Question

高二数学：已知圆M的方程x²+(y-2)²=1......

已知圆M的方程x^2;+(y-2)^2;=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B。（1）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，①当CD=更号2时，求直线CD的方程；②PC乘PD是一定值，求出定值。（2）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。（3）求四边形PAMB（M为圆心）面积的最小值。
家庭作业，算了我快一个小时了，要解题过程，急！！！！！！！！！！！

Answer 1

易知圆M的圆心为(0,2)，半径为1

（1）①因|CD|=√2<2（凳顷弦小于直径），则由圆的对称性知直线CD必有两条
令直线CD的斜率为k（因P在圆M的右侧，易知直线CD的斜率存在）
由点斜式令直线CD为y-1=k(x-2)。并令C(x1,y1)，D(x2,y2)
联立圆方程有(1+k^2)x^2-2k(1+2k)x+4k(k+1)=0
由韦达定理有
x1+x2=2k(1+2k)/(1+k^2)
x1x2=4k(k+1)/(1+k^2)
由弦长公式有
|CD|=|x1-x2|√(1+k^2)=√举雀[(x1+x2)^2-4x1x2]*√(1+k^2)
于是有√[(-12k^2-16k)/(1+k^2)]=√2
即7k^2+8k+1=0
解得k=-1或k=-1/7
所以直线CD：x+y-3=0或x+7y-9=0
②由圆幂定理知过定点P(2,1)的割线CD满足|PC|*|PD|=|PA|^2=|PB|^2
连接PM、MA，则MA⊥PA，由勾股定理有|PA|^2=|PM|^2-|MA|^2（MA为圆M的半径）
而由两点间距离公式易知|PM|=√5
所以|PC|*|PD|=4

（2）因MA⊥PA，则经过A、M、P三点的圆的直径为|PM|
易知经过A、M、P三点的圆必过定点M（圆M的圆心），但M不是唯一的定点
令P(x0,y0)。令PM的中点为N（即经过A、M、P三枣答陆点的圆的圆心）
由中点坐标公式知N坐标为（x0/2，(y0+2)/2）
由两点间距离公式有|PM|^2=x0^2+(y0-2)^2
则经过A、M、P三点的圆N的方程为(x-x0/2)^2+[y-(y0+2)/2]^2=[x0^2+(y0-2)^2]/4
整理得x(x-x0)+(y-2)(y-y0)=0（I）
显然M(0,2)满足圆N方程，即表明点M在圆N上

因P离圆M最近时，即PM垂直于直线L时，圆N与直线L仅一个交点（圆N与直线L的切点）
当P离圆M越远，PM越大，即圆N的半径越大，圆N与直线L会有两个交点，其中一个是P
联立圆N（I）与直线L有2y(2y-x0)+(y-2)(y-y0)=0
又因点P在直线L上，即有x0=2y0
于是有：2y(2y-2y0)+(y-2)(y-y0)=0
即(5y-2)(y-y0)=0
所以圆N与直线的另一个交点的纵坐标为y=2/5，此时横坐标为x=4/5
说明圆N必过定点（4/5，2/5）

综上，经过A、M、P三点的圆必过定点（0，2）和（4/5，2/5）

（3）显然S四边形PAMB=2S⊿PAM=|PA|*|MA|
而因MA⊥PA，由勾股定理有|PA|^2=|PM|^2-|MA|^2
令P(2t，t)，由两点间距离公式有|PM|^2=4t^2+(t-2)^2=5t^2-4t+4
令y=S四边形PAMB，则有y^2=5t^2-4t+3
易知当t=4/(2*5)=2/5时，(y^2)min=11/5
即(S四边形PAMB)min=√55/5

Answer 2

简单死了，我才上初一就会...