Question

设F为抛物线C;y^2=2px(p大于0）的焦点,点P为抛物线C上一点,若点P到F的距离等于点到直线

设F为抛物线C;y^2=2px(p大于0）的焦点,点P为抛物线C上一点,若点P到F的距离等于点到直线l ：x=-1/2的距离 若直线l’与抛物线交与AB两点，向量OA*向量OB=0 点O到直线l‘的距离为根号2 求直线l’方程

Answer 1

根据抛物线的定义，可知直线l：x=-1/2就是准线：x=-p/2

所以，p=1
抛物线的方程为：y²=2x
设l‘：x=ky+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
向量OA=(x1,y1)，向量OB=(x2,y2)
则：x1x2+y1y2=0 ①
AB在l'上，则：x1=ky1+b，x2=ky2+b
则：x1x2=(ky1+b)(ky2+b)=k²y1y2+kb(y1+y2)+b²，代入①式得：
(k²+1)y1y2+kb(y1+y2)+b²=0 ②
x=ky+b
y²=2x
联列方程组，消去x，得：y²-2ky-2b=0
y1+y2=2k，y1y2=-2b，代入②式得：-2b(k²+1)+2bk²+b²=0
整理得：b²-2b=0
得：b1=0，b2=2
因为原点到l'的距离为√2，所以显然直线l'不可能是过原点的直线，所以，舍去b1=0
则：b=2
所以，l'：x=ky+2
由点到直线的距离公式，原点到l'的距离d=2/√(k²+1)=√2
得：k²=1
所以，k=±1
所以，l'的方程为：x=±y+2
即：x-y-2=0或x+y-2=0

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

由抛物线的定义知-p/2=-1/2 ∴p=1 抛物线方程为y^2=2x
当直线l斜率存在时 设方程为y=kx+m (m≠0) 与抛物线联立 整理得k^2y^2+(2km-2)x+m^2=0
设A(x1,y1) B(x2,y2) ∴x1+x2=-(2km-2) / k^2 x1x2=m^2/k^2
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2/k y1y2=2m/k
∵向量OA*向量OB=0
∴ x1x2+ y1y2=(m^2+2km)/k^2=0 ∴m=-2k
又∵原点到直线的距离为根号2 得m^2=2k^2+2 将m=-2k代入得k^2=1
∴k=±1 从而m=-2或2
此时直线方程为y=x-2 或y=-x+2
当斜率不存在时 因为原点到直线的距离为根号2
∴只能是x=根号2
此时不满足OA垂直于OB
综上 直线方程为y=x-2 或y=-x+2