Question

已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0。 1） 若对一切x∈R，f（x）≥

已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0。
1） 若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。
（2）在函数f(x)的图像上取定两点A（x1，f(x1)），B（x2，f(x2)（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）要使得 f（x）≥1恒成立，则 f（x）=e^(ax)-x≥1
所以 e^(ax)≥1+x
当x=0时， f（x）=1，
所以我就要得到当 x≥0时 [e^(ax)]'≥（1+x）'=1

从而得到 ae^(ax)）≥1 ，
根据幂函数的性质，
如果a>0，ae^(ax)是增函数，所以只需要当x=0时ae^(ax)）≥1即可，求解 a≥1；
如果a<0，ae^(ax)是减函数，不能满足f（x）≥1恒成立的要求。
同理：
x≤0时 [e^(ax)]'≤（1+x）'=1，ae^(ax)）≤1 , 得到a≤1；

所以a的取值集合是 ｛1｝。

（2）f′（x）=a e^ax-1，
当a>0时，e^ax是增函数，所以f′（x）=a e^ax-1也是增函数
当a<0时 e^ax是减函数，乘以一个小于零的数就变成了增函数，所以f′（x）也只增函数。
又因为a不等于零，所以f′（x）=a e^ax-1也是连续可导函数，
根据联系可导的性质得到，一定存在一个点x3，使得f′（x3）等AB的斜率K，
a e^ax3-1=K， x3=1/a*ln[（K+1）/a]
有因为f′（x）是增函数，所以只需要x0>x3, 且x0<x2

所以 x0的取值范围是 （1/a*ln[（K+1）/a]，x2）

Answer 2

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