Question

证明:若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,函数g(x,y)在D上可积,且g(x,y)≥0,(x

证明:若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,函数g(x,y)在D上可积,且g(x,y)≥0,(x证明:若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,函数g(x,y)在D上可积,且g(x,y)≥0,(x,y)属于D,则至少存在一点（a,b）属于D,使得∫∫（区域D）f（x,y）g（x,y）dΔ=f（a,b）∫∫（区域D）g（x,y）dΔ

Answer 1

因为f(x,y)在有界闭区域d上连续，所以f存在最小值m和最大值m；
则
m*∫∫（区域d）g（x，y）dδ=<∫∫（区域d）f（x，y）g（x，y）dδ<=m*∫∫（区域d）g（x，y）dδ;再由连续函数的介值定理，至少存在一点（a，b）属于d，使得∫∫（区域d）f（x，y）g（x，y）dδ=f（a，b）∫∫（区域d）g（x，y）dδ。

Answer 2

因为f在D上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得m<=f<=M，
又因为g>=0,所以mg<=f*g<=Mg, 所以
m∫∫（区域D）g（x,y）dΔ<=∫∫（区域D）f（x,y）g（x,y）dΔ<=M∫∫（区域D）g（x,y）dΔ
所以，存在一点（a,b）属于D,使得∫∫（区域D）f（x,y）g（x,y）dΔ=f（a,b）∫∫（区域D）g（x,y）dΔ