Question

考研，高数，齐次微分方程

Answer 1

求微分方程 dx/dy=-x/(1-y)+y/(1-y)的通解

解：(1-y)dx=(y-x)dy；即(1-y)dx+(x-y)dy.........①；

P=1-y；Q=x-y；∂P/∂y=-1，∂Q/∂x=1；故不是全微分方程。

但因为H(y)=(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=-2/(1-y)是y的函数，因此有积分因子：

μ=e^[-∫H(y)dy]=e^[2∫dy/(1-y)]=e^[-2ln(1-y)]=e^[ln(1-y)^(-2)]=1/(1-y)²

用积分因子乘方程①的两边得：dx/(1-y)+[(x-y)/(1-y)²]dy=0.........②

此时②的P=1/(1-y)；Q=(x-y)/(1-y)²;  ∂P/∂y=1/(1-y)²=∂Q/∂x;

故②是全微分方程。于是可得②的通解：

即通解为u(x,y)=(x-1)/(1-y)-ln(1-y)=c.