Question

微分方程通解题目

微分方程通解题目求微分方程x²dy+(y-2xy-x²)dx=0的通解

Answer 1

(y-2xy-x^2)dx+x^2dy=0

积分因子为e^[∫(1-4x)/x^2dx]=e^(-1/x-4lnx)=e^(-1/x)/x^4

则e^(-1/x)/x^4*(y-2xy-x^2)dx+e^(-1/x)/x^2dy=0
∫e^(-1/x)/x^2dy=e^(-1/x)*(y/x^2)+u(x)
d[e^(-1/x)*(y/x^2)+u(x)]/dx=e^(-1/x)*(1/x^2)*(y/x^2)+e^(-1/x)*(-2y/x^3)+u'(x)
=e^(-1/x)/x^4*[y-2xy+u'(x)*x^4*e^(1/x)]
=e^(-1/x)/x^4*(y-2xy-x^2)
即u'(x)*x^4*e^(1/x)=-x^2
u'(x)=-e^(-1/x)/x^2=-[e^(-1/x)]'
u(x)=-e^(-1/x)
所以原方程为全微分方程，d[e^(-1/x)*(y/x^2-1)]=0
e^(-1/x)*(y/x^2-1)=C
y/x^2-1=Ce^(1/x)
y=Ce^(1/x)*x^2+x^2，其中C是任意常数