Question

求差分方程的通解是什么？

Answer 1

线性差分

概念

形如

yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)

的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程。其中a1(t），a2(t），…，an-1(t），an(t）和f(t）都是t的已知函数，且an(t）≠0，f(t）≠0。而形如

yt+n+a1(t)yt+n-1+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0

的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程。其中ai(t)(i=1，2，…，n）为t的已知函数，且an(t）≠0。

如果ai(t)=ai(i=1，2，…，n）均为常数（an≠0），则有

yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t），

yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0。

分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程。

定理

定理1（齐次线性差分方程解的叠加原理）

若y1(t），y2(t），…，ym(t）是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解（m≥2），则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t）也是方程 的解，其中A1，A2，…，Am为任意常数。

定理2n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。

定理3（齐次线性差分方程通解结构定理）

如果y1(t），y2(t），…，yn(t）是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解，则方程 的通解为：

yA(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t），

其中A1，A2，…，An为n个任意（独立）常数。

定理4（非齐次线性差分方程通解结构定理）

如果 (t）是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t）的一个特解，yA(t）是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解，那么，非齐次线性差分方程的通解为：

y(t)=yA(t)+ (t)

即

y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ (t），

这里A1，A2，…，An为n个任意（独立）常数。

通解特解

齐次差分方程的通解

将方程yt+1+ayt=0改写为：yt+1=-ayt，t=0，1，2，…。假定在初始时刻（即t=0）时，函数yt取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得

y1=-ay0=-aA，y2=-ay1=(-a)2A，………………方程的通解为yt =A(-a)t ，t=0，1，2，…

如果给定初始条件t=0时yt=y0，则A=y0，此时特解为：yt =y0(-a)t

非齐次方程的通解与特解

迭代法求通

将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t）， t=0，1，2，…。

逐步迭代，则有

y1=(-a)y0+f(0），y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1），y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2），………………

由数学归纳法，可得

差分方程

其中

差分方程

为方程的特解。yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解。

Answer 2

先求齐次方程的通解：

y(x+2)-6y(x+1)+8y(x)=0

特征多项式为

r^2-6r+8=0,

求得特征值

r1=2,r2=4.所以对应的齐次方程的通解为

y(x)=A*2^x+B*4^x

再来求原方程的一个特解：

设y(x)=ax^2+bx+c.那么

y(x+2)-6y(x+1)+8y(x)=2+3x^2

--->3ax^2+(3b-8a)x+(-2a-4b+3c)=2+3x^2

--->a=1, b=8/3, c=44...

差分方程又称递推关系式，是含有未知函数及其差分，但不含有导数的方程。满足该方程的函

数称为差分方程的解。差分方程是微分方程的离散化。