齐次差分方程的通解怎么写?

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有意自然快入诗700
2023-01-18 · TA获得超过132个赞
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齐次差分方程的通解
将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt,t=0,1,2,…。假定在初始时刻(即t=0)时,函数yt取任意值A,那么由上式逐次迭代,算得
y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………方程的通解为yt =A(-a)t ,t=0,1,2,…
如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为:yt =y0(-a)t。
非齐次方程的通解与特解
迭代法求通
将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t), t=0,1,2,…。
逐步迭代,则有
y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………
由数学归纳法,可得
差分方程
其中
差分方程
为方程的特解。yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解。

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