Question

已知圆C:(x-1)ˆ2﹢yˆ2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程

Answer 1

注意到：∵∠OPC=90°，动点P在以M( 1/2，0)为圆心，OC为直径的圆上，故可以求出圆心与半径，写出圆的标准方程．

定义法：
解：∵∠OPC=90°，动点P在以M(1/2，0)为圆心，OC为直径的圆上，
∴所求点的轨迹方程为(x-1/2)²+y²=1/4(0＜x≤1)

本题还可以用直接法或者参数法。

望采纳，若不懂，请追问。

追问

M(1/2，0)坐标怎样来的

追答

你好，你画个图就很好理解了，因为P是弦的中点，连接CP，由垂径定理可得
OP⊥CP，即OPC=90°，
在PT△OPC中，OC的中点为M(1/2，0)，显然PM始终等于OC的一半（直角三角形斜边的中线等于斜边的一般），于是就得到了动点P在以M(1/2，0)为圆心，OC为直径的圆上。

这相对其它方法来说是最简单的一种，望采纳，若不懂，请继续追问。

Answer 2

设直线 L 与圆将于 O、A 两点，过圆心 C 作 CP丄OA 于 P ，则 P 是 OA 的中点，
由于 OP丄CP ，因此 P 的轨迹是以 OC 为直径的圆在圆 C 内的部分，
由于 O（0，0），C（1，0），
因此以 OC 为直径的圆的方程为 (x-1/2)^2+y^2=1/4 ，
两方程联立可解得 x=0 ，
因此，所求的轨迹方程为 (x-1/2)^2+y^2=1/4 (x>0) 。

Answer 3

解：
令轨迹中点的坐标为M（x,y) ，圆C坐标为C（1，0）,原点为O
则向量CM=（x-1,y），向量OM=(x,y)
根据圆特性，CM必垂直OM
即向量CM*OM=0
所以x(x-1)+y^=0
配方得 (X-1/2)^+y^=1/4
其中：1>x>0,1/2>y>-1/2

Answer 4

圆点O在圆C上
如果直线x=0
那么圆心（1,0）到直线的距离是1=半径
此时相切，直线不会和圆有两个交点，所以不是弦
所以存在斜率设直线y=kx,设交点A（x1，kx1）两一个交点是（0,0）
把y=kx代入圆有
（x1-1）²+k^2x1²=1
设弦中点是（x,y）
那么2x=x1
2y=y1
代入得到
（2x-1）²+4y²=1 （x不等于0）
注意0点处无法取得，是此题最大的陷阱