Question

求cosα+cos2α+cos3α+.....+cosnα的值 sinα+sin2α+sin3α+.....+sinNα

Answer 1

cosx+cos2x+....cos(nx)=sin(nx/2)cos((n+1)x/2)/sin(x/2)
sinx+sin2x+....sin(nx)=sin(nx/2)sin((n+1)x/2)/sin(x/2)
方法：
cosx+cos2x+....cos(nx)+i[sinx+sin2x+....sin(nx)]=e^(ix)+e^(i2x)+...e^(inx)
=e^(ix)*(1-e^(inx))/(1-e^(ix))
=e^(ix)*(sin(nx/2)/sin(x/2))e^(i(n-1)x/2)
整理分别取实部和虚部即得

追问

最后一步怎么来的？

追答

(1-e^(inx))/(1-e^(ix))
上下乘以1-e^(-ix)即可得
或者画图可得
1-e^(ix)=sin(x/2)e^(i*(x-pi)/2)再有复数除法规则可得