Question

一道数学微积分的问题求助。

如图所示：想求图中凹槽的体积，具体数据您可以自己设置，感谢为上！
凹槽指的是梯形和圆形组合的区域，谢谢。

Answer 1

解：
以凹槽轴心与垂直面交点为原点，以轴心向外为x轴正向，B标线向右为y轴，A标线向上为z轴建立直角坐标系；则正视图为yoz平面投影；底视图为xoy平面投影；
以平行于xoz的平面切割凹槽，则得到的切面为矩形，切面的y坐标范围为 [y1,y2]
y1 为H3线对应y坐标，y2为H4线对应y坐标，则：
y1 = B/(H1-H5) *(H2-H3)；y2=B/(H1-H5) *(H2-H4)
则在 坐标为y 的切面，在凹槽所切矩形的z方向高度为：
Hz = 2* √(R² - y²)
矩形的x轴方向宽为Hx，满足：
y/(H2-Hx) = B/(H1-H5) ==> Hx = H2- B/(H1-H5) *y
设所切矩形薄片厚度为dy，则薄片体积微元的大小为：
dV = Hz * Hx *dy = 2* √(R² - y²) * [H2- B/(H1-H5) *y]*dy
圆弧凹槽体积为：
V1 = [y1,y2]∫( 2* √(R² - y²) * (H2- B/(H1-H5) *y)*dy)
其中y1 = B/(H1-H5) *(H2-H3)；y2=B/(H1-H5) *(H2-H4)
梯形凹槽部分：y的取值范围[y0,y1]
y0 = - B/(H1-H5) *(H1-H2)
在 坐标为y 的切面，在凹槽所切矩形的z方向高度为：
Hz = D + (C-D)/L * (y1-y);
矩形的x轴方向宽为Hx = H2- B/(H1-H5) *y
因此梯形凹槽部分体积为:
V2 = [y0,y1]∫(D + (C-D)/L * (y1-y)) * (H2- B/(H1-H5) *y)*dy
凹槽总体积为：
V = V1+V2 = [y1,y2]∫(2* √(R² - y²) * (H2- B/(H1-H5) *y)*dy
+[y0,y1]∫(D + (C-D)/L * (y1-y)) * (H2- B/(H1-H5) *y)*dy
其中：
y0 = - B/(H1-H5) *(H1-H2)；
y1 = B/(H1-H5) *(H2-H3)；
y2 = B/(H1-H5) *(H2-H4)

Answer 2

定积分，面积