Question

线性方程组怎么选择自由变量（不用主元确定的方法）

Answer 1

设齐次线性方程组AX=0

将A用初等行变换化成行简化梯矩阵、比如

1 2 0 3 4

0 0 1 5 6

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

则非零行的首非零元所在列对应的就是约束变量，例中为 x1，x3。

其余变量即为自由变量，例中为 x2，x4，x5。

扩展资料：

对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。

但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

Answer 2

首先明确自由变量是相对的, 选法不唯一

考虑系数矩阵的列向量
列向量组的极大无关组(不唯一)可唯一表示其余向量
所以可将极大无关组中向量所在列对应的未知量视为约束变量, 其余则为自由变量

追问

列向量组的极大无关组与未知量有什么关系

追答

有关系的
齐次线性方程组的向量形式即 x1a1+...xnan=0
假设前r个列向量线性无关
则 x1a1+...+xrar = -xr+1ar+1+...+xnan
其余向量可由极大无关组唯一线性表示
其余向量的线性组合可由极大无关组唯一线性表示(未知量就是组合系数)
所以 自由未知量 xr+1,...,xn 任取一组数, 可唯一确定 x1,...,xr 的值, 从而构成一个解

Answer 3

设齐次线性方程组AX=0
将A用初等行变换化成行简化梯矩阵, 比如
1 2 0 3 4
0 0 1 5 6
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
则非零行的首非零元所在列对应的就是约束变量, 例中为 x1,x3
其余变量即为自由变量, 例中为 x2,x4,x5

追问

还有什么方法

Answer 4

首先，自由变量的个数等于变量总数减去系数矩阵的秩。
然后，去掉自由变量后的行列式不等于零，再一个个检查是否不为零。