Question

12．如图,在四边形ABCD中,BC=DC,AC平分∠BAD,CE⊥AB, CF⊥AD,E、F为垂足,若AB=21,AD=9,BC=DC=10,求AC的长.

如题

Answer 1

作辅助线构建直角三角形，求证△CFD≌△CEB，即可得DF=EB，即可求得DF，根据DF求CF，根据CF、AF求AC．
∵∠CEA=90°，∠CFD=90°
∴FC∥AB
∵AC平分∠BAD
∴∠DAB=∠CAB
∴∠CAB=∠FCA=∠FAC
∴△CFD≌△CEB
∴DF=EB
∴9+DE=21-DF
∴DF=6
∴AC=√(AF²+CF²)=√(AF²+CD²-DF²)=√(15²+10²-6²)=17

Answer 2

此题需要做一条辅助线，此辅助线过C点，交与AB线上，设为G点。
依次证明三角形CGF全等于三角形CBF全等于三角形CDE;
则BF=GF DE=GF
再证明三角形ACE全等于三角形ACF;
则AE=AF
得到AD=AG=9 于是BF=(AB-AG)/2=6
AF=AB-BF=15
根据直角三角形CFB,可以求的CF=8
再在直角三角形ACF,求得 AC=根号（AF平方+CF平方）=17

Answer 3

首先说明的是图和题目有点不一样，图中的E和F应该调换一下

根据角平分线定理可知：CE=CF，AE=AF，
又因为BC=CD，所以△BCE与△DCF全等，所以BE=DF。
设BE=DF=x，则AE=AB-x=AF=AD+x，所以x=6；
在△BCE中利用勾股定理可得CE=8；所以在△ACE中再次利用勾股定理可以求出AC的长