Question

求这道题特解的形式

Answer 1

求微分方程 d²y/dx²-dy/dx+2y=xe^x的特解
解：齐次方程y''-y'+2y=0的特征方程r²-r+2=0的根r₁=(1+i√7)/2；r₂=(1-i√7)/2；
故齐次方程的通解为：y=[e^(x/2)C₁cos(√7/2)x+C₂sin(√7/2)x]
其特解可设为：y*=(ax+b)e^x;
y*'=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x
y*''=ae^x+(ax+a+b)e^x=(ax+2a+b)e^x
代入原式并消去e^x得：(ax+2a+b)-(ax+a+b)+2(ax+b)=2ax+a+2b=x
∴2a=1，a=1/2；a+2b=(1/2)+2b=0，故b=-1/4；
∴特解为：y*=[(1/2)x-(1/4)]xe^x;
通解为：y=[e^(x/2)C₁cos(√7/2)x+C₂sin(√7/2)x]+[(1/2)x-(1/4)]xe^x;