Question

向量法来解答

在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB‖CD,AC‖ED,AE‖BC, AB=2√2,∠ABC=45°,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小; 求向量法解答 以AB为x轴AC为y轴

Answer 1

郭敦顒回答：
∵向量AP⊥向量AB，向量AP⊥向量AC，则向量AP=向量AB×向量AC，
又向量⊥向量AE，∴向量AP=向量AC×向量AE；
向量AB与向量AB的夹角α=∠ABC=45°，
向量AE‖向量BC，则向量AE×向量BC=0，
在有些情况下用向量解法较简单，而在另一些情况下却很繁琐，此题就是这样。所以，不能为用向量而用向量，下面仍按一般解法求解：
∵三角形PAB是等腰三角形，∴AP=AB=2√2，∴PB=4
又∵BC=2AE=4，∴PB=BC，
∵PA⊥平面ABCDE，∴平面PAB⊥平面ABCDE，AE⊥AB，
∴BC⊥AB，BC⊥PB，ABC和PBC都是等腰Rt⊿，∠ACB=∠ABC=45°，
又∵AB∥CD，∴∠ACD=∠ABC=45°
在平面ABCDE上过E作EH⊥BC于H，则BH=CH=AB=2，EH∥AB∥CD
(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC;
在平面PCD上过P作PF∥CD，连FC，则PF∥AB，∴AP⊥PF，
∴平面PCD⊥平面PAC;。
(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;
直线PB与平面PCD所成R的角为∠PBF，
∵AB=AP，PF∥AB，∴∠PBF=∠ABP=45°

P

F

A E

D

B C

Answer 2

首先，应该先确定BA⊥AC之后，再 以AB为x轴AC为y轴，建立直角坐标系。
（Ⅰ）在ΔABC中，由于AB=2√2，BC=4，∠ABC=45°，因此由余弦定理得到AC=√(AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos45°)=2√2，因此可知AB=AC=2√2，BC=4，所以∠BAC=90°，即有BA⊥AC；
因为AB‖CD，故有AC⊥CD；又因为PA⊥平面ABCDE，故PA⊥CD，所以CD⊥平面PAC，所以平面PCD⊥平面PAC。
（Ⅱ）然后建立以AB为x轴，AC为y轴，PA为z轴的直角坐标系。故得到BP向量为(-2√2,0,2√2)，设平面PCD的单位法向量为n=(n1,n2,n3)，由于CP向量为(0,-2√2,2√2)，CD向量为(2,0,0)，由此得到法向量为n=(0,√2/2,√2/2)，得到BP与法向量夹角为60°，由图可知直线PB与平面PCD所成角为锐角，所以此角大小为60°。