Question

我想问个关于数列极限定义的问题

定义说总存在一个正整数N，使得当n>N时，有……。我想问，这个N怎么找？怎么才算找到N？这个N用什么表示才行？我看见书上的列题都是先用〖An-a〗<∑来找N.为什么要这样？

Answer 1

存在一个正整数N,使得当n>N时，有 [xn-a]总小于e
这个e是任意小的正数
如何找到这个N是解决这类问题的关健
通常的做法是
1、通过不等式[xn-a]<e解出这个n 当n>N时有[xn-a]<e
2、通过不等式[xn-a]<e放缩成[xn-a]<f(n)
因为只要f(n)<e 必有[xn-a]<e
由f(n)<e解出n 则n必满足[xn-a]<e
这个n 找到了 这个N也就找到了。

Answer 2

比如说：an=1/n，极限是0.
显然，随着 n 的无限增大，an 的值无限趋近于极限 0.
那么这个无限趋近的“程度”怎样描述呢？就用an与极限 0 之间的距离 lan-0l 来描述。
lan-0l 越小，就说明an越趋近于 0.

如果一个数列的极限存在，那么对于预先给定的任意小的正数ε，比方说 ε=0.001，只要项数足够大，an与极限0的差距就会小于ε。ε是描述 an 与 0 的靠近程度的。
lan-0l ＜ ε
l1/n l ＜ ε
1/n ＜ 0.001
n ＞ 1/0.001
n ＞ 1000
也就是说，数列 {an} 从1001项开始，与 0 之间的距离就会达到你预先指定的接近程度 lan-0l ＜ 0.001