Question

∫√[(e^x+1)/(e^x-1)]dx,求不定积分

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Answer 1

∫√[(e^x+1)/(e^x-1)]dx
=∫[(e^x+1)/√(e^(2x)-1)]dx
=∫[(e^x)/√(e^(2x)-1)]dx+∫[1/√(e^(2x)-1)]dx
=ln(e^x+√(e^(2x)-1))+∫[1/√(e^(2x)-1)]dx
对2个积分，设t=√(e^(2x)-1),e^(2x)=1+t^2 ,2e^(2x)dx=2tdt
∫[1/√(e^(2x)-1)]dx=∫(1/t)(t/(1+t^2))dt=∫dt/(1+t^2)=arctant+C
所以：
∫√[(e^x+1)/(e^x-1)]dx=ln(e^x+√(e^(2x)-1))+arctan√(e^(2x)-1)+C

Answer 2

原式=∫√[e^(2x)-1]dx/(e^2-1),
设u=e^x, x=lnu,dx=du/u,
原式=∫√(u^2-1)du/[u(u-1),
设u=sect,du=secttantdt,
tant=√(u^2-1),
t=arccos(1/u)
原式=∫tant*sect*tantdt/[(sect-1)*sect]
=∫(tant)^2dt/(sect-1)
=∫[(sect)^2-1]dt/(sect-1)
=∫(sect+1)(sect-1)dt/(sect-1)
=∫(sect+1)dt
=ln|sect+tant|+t+C
=ln|u+√(u^2-1)|+arccos(1/u)+C
=ln|e^x+√(e^2x-1)|+arccos(1/e^x)+C.

Answer 3