Question

已知椭圆c:x2/a2+y2/b2=1(a大于b大于0)的两个焦点分别为f1,f2,斜率为k的直线l过左焦点f1且于椭圆的交点为

a,b.与y轴交点为c，又b为线段cf1的中点，若绝对值k小于等于2分之根号14，求离心率e的范围

Answer 1

解析几何的基本题
过F1(-c,0)，设y=k(x+c)(k≠0)，将x=0代入，y=kc，所以C(0,kc)
B是F1C中点，B(-c/2,kc/2)，B在椭圆上，将B代入椭圆方程
c^2/4a^2 + k^2c^2/4b^2 = 1通分
b^2 c^2+k^2 a^2 c^2=4a^2 b^2
(a^2-c^2) c^2+k^2 a^2 c^2=4a^2 (a^2-c^2)
k^2 a^2 c^2=4a^4+c^4-5a^2 c^2
k^2=(4a^4+c^4-5a^2 c^2) / (a^2 c^2) e=c/a
k^2=4/e^2 + e^2 -5
k^2≤ 7/2
4/e^2 + e^2 -5≤ 7/2
解不等式即可
e∈[√2/2,1)