Question

勾股定理的应用案例有哪些？

Answer 1

陈明和张红、方华在昆明湖中划船，岸边有一棵芦苇露出水面。这棵芦苇有多长呢？这里水有多深呢？小明捉摸了一会，拿出尺来量了量芦苇露出水面的长度是11厘米，芦苇离岸边的距离是3米零1厘米，他又扯着芦苇顶端引到岸边，苇顶正好和水面相齐，陈明高兴地说，我可以算出芦苇的长度和水深。张红和方华感到奇怪：你怎么会算的呢？陈明说：“我叔叔有一本《九章算术》，那是汉朝的著作，离现在快两千年了，前天晚上，叔叔给我讲了其中一个题目，就是计算芦苇长度的。”接着，陈明给他的小伙讲了这个题目。

这个题目是《九章算术》勾股章第六题。题目是：

“有一个方池，每边长一丈，池中央长了一棵芦苇，露出水面恰好一尺，把芦苇的顶端引到岸边，苇顶和岸边水面刚好相齐，问水深、苇长各多少？

设池宽ED＝2a＝10尺，C是ED的中央，那么，DC＝a＝5，生长在池中央的芦苇是AB，露出水面的部分AC＝1尺，而AB＝BD，设BD＝c，水深BC＝b，△BDC是一个勾股形。显然AC＝AB－BC＝c－b＝1尺，AC的长等于勾股形中弦和股的差，称为股弦差，于是，问题就变了：已知勾股形的勾长和股弦差长，求股长和弦长。

由勾股定理得

a平方＝c平方－b平方，

那么，

a平方－(c－b)平方＝c平方－b平方－(c－b)平方

＝c平方－b平方－(c平方－2bc＋b平方)

＝2bc－2b平方

＝2b(c－b)

所以

(1),b＝a平方－(c－b)平方 /2b(c－b)

(2),c＝b＋(c－b)

将b，c－b的数值代入（1）、（2）两式，很容易求出水深b＝12尺，苇长c＝13尺，《九章算术》用非常精练的语言概括了这个解法：

半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭（苇）长。

这段话翻译成数学语言，就是（1）式和（2）式。

Answer 2

勾股定理的两个案例：
问题一是等腰直角三角形的情形（通过多媒体给出图形），判断外围三个正方形面积有何关系？这一问题的设计意图是引导学生参与探索，培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。生：两个小正方形的面积之和等于大的正方形的面积。进而引导学生合理猜测：是否任意直角三角形都符合这个“三边关系”的结论？
问题二是一般直角三角形的情形，判断这时外围三个正方形的面积是否也存在这种关系？引导学生拿出提前准备好的四个全等的边长为a、b、c 的直角三角形，以前后四人为一组进行拼图用等积法证明勾股定理。