Question

函数y=xcosx在R上是否有界？这个函数是否为x趋向正无穷时的无穷大？

Answer 1

无界，不趋于无穷大。
有界的定义：存在正整数M 使得 无论x 取什么值都有 |f(x)|<=M。显然，xcosx不满足条件，无论M什么值，都可以找到一个x使得xcosx>M ,试想当x=2kπ ,当k为很大的正整数时，即可满足条件。
趋于无穷大的意思：对于任意给定的正整数M都存在一个数x0，使得当x>x0时，|f(x)|>M.
因为cosx不断变化，在某一点可以为零，这些点是无数个，而且周期性稳定的出现。此时，不论x为多么大，都会使得xcosx=0.因而不会存在上述的x0.因而，这个函数不趋于无穷大。

Answer 2

取x=2nπ,n∈N*,n→∞时x→+∞，y=2nπ→+∞。
但是，不能说当x趋向正无穷时这个函数趋向于正无穷大，因为
x=(n+1/2)π时y=0.
y=xcosx在R上无界.