Question

已知AB为圆O的直径，弦CD垂直AB，垂足为H。若过A的直线与弦CD交点E，与圆O交点F,求证AE.AF=AC2

Answer 1

证明：连结BC，BF。
因为 AB是圆O的直径，
所以 角ACB=90度，
又因为 CD垂直于AB于H
所以 AC^2=AHxAB(直角三角形中的比例线段定理，即：射影定理）
因为 AB是圆O的直径，CD垂直于AB于H，
所以 角BHE+角F=90度+90度=180度，
所以 H，E，F，B四点共圆，
所以 AHxAB=AExAF,
所以 AExAF=AC^2。

Answer 2

证明：因为弦CD垂直直径AB
所以弧AC=弧AD (垂径定理）
所以∠ ACD=∠ AFC (等弧所对的圆周角相等）
又因为∠ CAE=∠ FAC
所以 △ACE与 △AFC相似 (AA)
所以AC/AE=AF/AC
即AE*AF=AC²

Answer 3

易的三角形AEH相似AFB 的AE/AB=AH/AF 即AE.AF=AB.AH
易得三角形ACH相似ACF 的AH/AC=AC/AB 即AB.AH=AC平方
以上得 AE.AF=AC2

Answer 4

连接CB
因为AB是直径
所以角ACB=90度
因为角CAB=角CAB,角ACB=角AHC=90度
所以三角形ACH相似于三角形ABC
所以AC：AB=AH：AC
所以AH*AB=AC^2