Question

高数拐点问题

图中此题求大神解惑，我自己已经弄糊涂了

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Answer 1

设函数y=f(x)在点x0 的某邻域内连续，若（x0,f(x0))是曲线y=f(x)凹与凸的分界点，则称（x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点。
可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
⑴求f''(x)；
⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0,f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0,f(x0))不是拐点。
对于此题，
x=0,y=9
x=1,y=0,
x=2, y=1
x=3,y=0
x=4,y=9
你画草图可以得到曲线变化起伏有两次，因此有两个拐点，你的猜测在这一点上是对的。
但是拐点并不是函数值等于零的点，而是二阶导数等于点的点（对于连续函数），因此你以为的怪点是错的。
实际上二阶导数是个二次函数，其判决式=48^2-4*12*44=48*4>0
有两个不相等的实数根，这也证实了你猜测有两个拐点。只是取值不是1和和3，而是在12和23之间。

追问

你理解我的意思了，但是通过草图可以知道拐点个数，拐点本身是凹凸之间的点(拐点本身性质我理解不用重复了)，光看草图我怎么才知道拐点位置在哪一部分附近？

拐点在(1，2)和(2，3)之间，我看你回答没看到结尾，你回答的很棒！谢谢

Answer 2

拐点是二阶导数左右两边正负不同的点，极点是一阶导数左右两边正负不同的点。

你用穿针引线法，或者画出函数图像，求的都是极点，而不是拐点。看这个点是不是拐点，看的是函数的凹凸，而不是增减。
用二阶导数为零，求出来的才是拐点。

追问

拐点是二阶导数等于0的点(左右异号)或二阶不可导点这个我知道。为什么网上有说可以通过穿针引线法画图像看出拐点？

我个人觉得如果是填空题，老师出这样题应该不是通过求二阶导数来判断拐点个数，有技巧但我不知道