Question

已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像，如图。

已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像，如图，若一元二次方程ax²+bx+m=0有实数根，则M的最大值为（）求详解

Answer 1

如下：

（1）当y=0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的两个根，由图可知，方程的两个根为x1=1，x2=3

（2）依题意因为ax2+bx+c＞0，得出x的取值范围为：1＜x＜3

（3）根据函数图象，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时，x≥2

（4）如图：

方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y=k有两个交点，此时，k＜2

简介

二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

Answer 2

y=ax²+bx+c(a≠0)的图像可判断c=0（过原点），所以y=ax²+bx+c=ax²+bx，令y1=ax²+bx+m，即y1=y+m，也就是将y=ax²+bx+c=ax²+bx的图像向上平移了m个单位，要保证一元二次方程ax²+bx+m=0有实数根，须y1=ax²+bx+m与x轴有交点，即向上平移的单位不能超过3，所以m<=3,m的最大值为3.
这个结合图一眼就能看出来的。个人抛砖引玉，仅供参考。

Answer 3

由图知c=0,-b/2a>0,(4ac-b^2)/4a=-3,a>0,所以有b^2=12a,b<0,若一元二次方程ax²+bx+m=0有实数根,则b^2-4am>=0,将b^2=12a代入得12a-4am>=0,解得m<=3,最大值是3

Answer 4

解：由图知 x=0，y=0 解得：c=-3
有顶点知抛物线最小值（4ac-b`2）/4a=-3
整理得 b`2=4ac+12a （1）
又由于一元二次方程有实数根得
b`2-4am≥0
将（1）代入整理得m≤c+3
因为c=-3
所以得m≤0
得m最大值为0

追问

C怎么会等于-3呢？不是应该也是0么？

追答

不好意思，写错了。抛物线过原点（0,0）把x=0,y=0代入得c=0

正解：
由图知 x=0，y=0 解得：c=-0
有顶点知抛物线最小值（4ac-b`2）/4a=-3
整理得 b`2=4ac+12a （1）
又由于一元二次方程有实数根得
b`2-4am≥0
将（1）代入整理得m≤c+3
因为c=0
所以得m≤3
得m最大值为3

Answer 5

由条件知,-b^2 / 4a = -3 , a > 0 , -b/2a >0 , c = 0
即b^2 = 12a , a>0 , b<0 , c=0
一元二次方程ax²+bx+m=0有实数根,即
△=b^2-4am≥0
m≤b^2 / 4a = 3
即m最大值为3