Question

线性代数问题，n阶矩阵A可对角化，a是它的一个特征值，xo是它对应的特征向量，证（aE-A)x=xo无解

其中E为单位矩阵

Answer 1

这主要是关于A“可对角化"这个性质的。如果你知道Jordan标准型，那么可以想象，如果
(aE-A)x=x_0
有解的话，那么A在化成Jordan型之后，涉及x_0的那部分不是对角化的，而是一个大一些的Jordan块。如果你还没有学Jordan型，有如下证法。

假设T^(-1)AT=D是n阶对角矩阵，那么D的特征值就一一对应于A的特征值，D的特征向量就是T^(-1)（左）乘A的特征向量，这可以直接看出来：Ax=ax推出D (T^(-1)x) = a (T^(-1)x)。
因此u_0=T^(-1) x_0是D的特征向量，对应的特征值是a。假如
(aE-A)x=x_0的话，那么u=T^(-1)x满足
(aE-D)u=u_0。
但是对于对角矩阵D，这是不可能的。你可以直接把它写出来计算。过程是这样的（一直到这段的结尾。建议你不看，因为你自己可以算，看我的反而乱套）。对角矩阵的特征向量就是R^n中的坐标向量，也就是说，u_0的n个分量里，只有1个（比如说第k个）不是0，其余都是0。那么D在第k行第k列处的元素就是a，所以(aE-D)在第k行第k列处的元素是0，于是(aE-D)整个第k行、第k列都是0（它是对角矩阵）。那么对于任意u，(aE-D)u的第k个分量都是0，所以不能等于u_0。

对于楼上（还是应该叫楼下啊），补充一下，你可以尝试A是非对角的一个Jordan块，比如A是2×2矩阵，只有右上角是1，其他都是0，a=0，x_0是列向量(1,0)，它是A对应于a=0的特征向量。这时题述方程有解，并且任何列向量，只要第二个分量是-1，都是它的解。这时|aE-A|仍为0（参照你原先解答的第7行）。正如追问中所说，|aE-A|不为0，是有唯一解的条件，但现在的解不是唯一的。实际上，如果A不能对角化，对应于x_0的那块是个大的Jordan块的话，那么题述方程有解x，并且在x上面加上任意实数倍的x_0，都仍然是那个方程的解（这可以直接从x_0是特征值看出），这是你在补充回答里面“有无数个解”的情形，在楼主的第二次追问中也给了个说法，不过那里他的那个x_0似乎不是A属于a的特征向量罢了。

追问

下面的方法我看懂了，我学过Jordan，但为什么有解的话，就会不能对角化呢？或者说（入-a）就有重根呢（是这个意思吧）？

追答

如果有解，那么就比如刚才说的，矩阵A是2×2的矩阵，右上角是1，其余三个数都是0，唯一的特征值是a=0，x_0是列向量(1,0)，这时那个解，x，只要第二个分量是-1就行了。这时候你看A是不能对角化的，实际上A自己已经是Jordan型了。

具体来讲，假设T^(-1) AT=D，其中D是A的Jordan型。那么A可以对角化的意思就是D是对角矩阵。这时候就是AT=TD。如果你把T的列向量记为x_1，x_2的话（我仍然暂时假设A是2×2的矩阵。一般的方阵也类似，但是度娘这里排版实在没法弄），D如果是对角矩阵diag(a_1,a_2)，那么就有
A x_1 = a_1 x_1；
A x_2 = a_2 x_2，
如果D不是对角矩阵，那么D就形如
(a 1)
(0 a)，
这时你把AT=TD写开，就成了
A x_1 = a x_1；
A x_2 = x_1 + a x_2，
其中x_1就是特征向量，而x_2就是你所说的那个方程的解（拿x_1当x_0用），而那个方程就是这么得来的（我是说，因为这些原因，那个方程才会有人关注）。既然你学过Jordan型，那么你知道，假如A是个3×3的矩阵如下
(a 1 0)
(0 a 1)
(0 0 a)，
那么就还有个x_3满足(aE-A) x_3 = x_2。这样的x_2和x_3是所谓的广义特征向量（因为Jordan型是对角型的一般情形，对角型的时候称为特征向量）。

这个问题的背景大概就如上所述。你可以试着对一般的矩阵A，自己从头开始（从理论开始自己推，而不是套一个算法）找一个矩阵T使得T^(-1) AT是Jordan型，就可以理解为什么人们会关注上面的那些问题了。

追问

我只看出来如果方程有解的话
可以存在一个T使得T-1AT=貌似Jordan标准型的非对角矩阵（一个主对角线元素任意，位于上方的次对角线为0或1，其他地方全为零的矩阵）
但是这个矩阵不一定是Jordan
（我可笨了，你建议我找一个矩阵T使得T^(-1) AT是Jordan型，但是我只会对具体矩阵A求J，抽象我不会，还望不吝赐教）

追答

你所说“这个矩阵不一定是Jordan”，是指的A本身不一定是Jordan型么？如果是，那么当然。我举那个例子只是为了方便，直接取A自己为Jordan型，免得再求一些难算的特征向量而已。

对于一般的情形，假如T^(-1) AT=D是Jordan型，那么AT=TD，然后把T的列向量记为x_1，...，x_n，则A (x_1 x_2 ... x_n) = (x_1 x_2 ... x_n) D，把它写开：左边是个n×n的矩阵，其中的列向量是Ax_1，Ax_2，...，Ax_n了；右边也是个n×n的矩阵，列向量是(x_1 x_2 ... x_n)乘以 『D的列向量』。而D的列向量都是(0,0,...,0,a,0,...,0)或者(0,0,...,0,1,a,0,...,0)这种样子的（排版问题，只好写成行向量的样子）。这样等式两边的对应列向量相等，就知道对于每个x_k，要么是
(1) A x_k = a x_k，其中a是D对角线上的第k个元素（这个时候在D里面，这个a上面的那个数是0)，要么
(2) A x_k = x_(k-1) + a x_k，其中a是D对角线上的第k个元素（这个时候在D里面，这个a上面的那个数是1)。所以T的这些列向量就是矩阵A的特征向量或者广义特征向量。为了把一个矩阵化成Jordan型，你大概知道是得求出这些向量，实际上就是在求T，以及D里面次对角线上哪些地方是1（就是满足上面方程(2)的对应的地方），哪些地方是0（就是满足上面方程(1)的对应的地方）。

Answer 2

因为A可对角化, 所以存在可逆矩阵P满足P^-1AP=diag(a1,a2,...,an)
其中a1,...,an是A的特征值, P的列向量由对应的特征向量构成
不妨设xo位于P的第1列: P=(xo,x2,...,xn)
则 P^-1AP=diag(a,a2,...,an)
由于 E=P^-1P=P^-1(xo,x2,...,xn)=(P^-1xo,P^-1x2,...,P^-1xn)
所以 P^-1xo = (1,0,...,0)^T.

假设y0是(aE-A)x=xo的解
则 (aE-A)y0=xo
则 P^-1(aE-A)P P^-1y0=P^-1xo
所以 diag(0,a-a2,...,a-an)(P^-1y0)=(1,0,...,0)^T.
观察知左式第一行的元素必为0
所以得 0 = 1.
矛盾.
所以 (aE-A)x=xo 无解.

Answer 3

因为a是A的一个特征值，x0是它对应的特征向量，知x0不等于0。
反证法。
对于(aE-A)x=xo,假设它有解。
则存在x,使得（aE-A)x=xo成立。
由于x0不等于0，故它是一个n元线性非齐次的方程组。
利用克拉默法则，由于方程组（aE-A)x=xo有解，
故IaE-AI必不等于0。
事实上，a是A的一个特征值，故IaE-AI=0。
二者相互矛盾。
因此方程组(aE-A)x=xo无解。

追问

克拉默法则是说只有唯一解的情况采用行列式为零 而且照这么说（aE-A）x永远不非零了

追答

克拉默法则:
系数矩阵A非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；

系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解。
因为n阶矩阵A可对角化，故存在可逆矩阵P,矩阵使得P^-1*A*P=diag.得A=P*diag*P^-1,
所以IaE-AI=IaPP^-1 -P*diag*P^-1I=IP(aE-diag)P^-1I=IPI*I(aE-diag)I*IP^-1I=IaE-diagI必不等于0.

追问

你没有用到xo是特征向量的性质啊，如果xo可以是任意向量
"由于方程组（aE-A)x=xo有解，故IaE-AI必不等于0。＂
这很容易举出反例啊
比如aE-A=（1 0；0 0） xo=(1 0)T 有解啊

而且IaE-diagI 因为diag是A的特征值组成的对角阵，对角元里有a，所以aE-diag的行列式等于0

Answer 4

设A的所有不同的特征根为 a=a1, a2,...,ar, 1<=r<=n.
因为A可以对角化，所以 任给向量x, 存在对应于a1,a2,...,ar 的特征向量x1,x2, ...,xr。 使得
x=x1+x2+...+xr
于是：
(aE-A)x=ax-Ax=ax1+ax2+...+axr-a1x1-a2x2-...-arxr=(a-a2)x2+...+(a-ar)xr
因为不同特征根对于的特征向量线性无关。
所以x0 作为对应于特征根a=a1的特征向量，不可能由其他特征根所对应的特征向量 的线性组合产生。
所以(aE-A)x不可能=x0