Question

已知二次函数f(x)最小值为1,f(0)=f(2)=3，

若f（x）在[2a,a+1]上不单调，求a取值范围
在区间【-1，1】上，y=f(x)的图像恒在y=2x+2m+1的图像上，试确定实数m的取值范围。

Answer 1

二次函数f(x)的最小值为1
同时二次函数图像是对称的，且f(0)=f(2)
则对称轴为 x=(0+2)/2=1
则设 f(x)=a(x-1)²+1
f(0)=a+1=3
a=2
则
f(x)=2(x-1)²+1
f(x)在[2a,a+1]不单调
则对称轴位于其中，即
2a<1/2
a+1>1/2
解得：-1/2<a<1/4
在区间[-1,1]上 f(x)的图像恒在y=2x+2m+1图像上
即 f(x)-(2x+2m+1)>0 对于 x∈[-1,1]恒成立
2(x-1)²+1-2x-2m-1=2x²-6x+2-2m>0
x²-3x+1-m>0 x∈[-1,1]恒成立
记 F(x)=x²-3x+1-m=(x-3/2)²-5/4-m

(1)delta=(-3)²-4(1-m)=4m+5<0 m<-5/4 成立
(2)m≥-5/4时
3/2∈[-1,1] 即满足F(x)最小值大于0即可
-5/4-m>0 m<-5/4 不满足m≥-5/4
综上m<-5/4

Answer 2

解：
1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）
∴对称轴为x=1
又最小值为1
设f（x）=a（x-1）2+1
又f（0）=3
∴a=2
∴f（x）=2（x-1）2+1=2x2-4x+3
要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1
∴0＜a＜½

2）由已知2x2-4x+3＞2x+2m+1在[-1，1]上恒成立
化简得m＜x2-3x+1
设g（x）=x2-3x+1
则g（x）在区间[-1，1]上单调递减
∴g（x）在区间[-1，1]上的最小值为g（1）=-1
∴m＜-1

追问

我说，最后的答案错误了！

追答

好吧，我的错