Question

23、设xn=(1-1/2^2)(1-1/3^2)……(1-1/n^2)，证明：数列{xn}收敛

Answer 1

1+2+……+n=n(n+1)/2
(1-1/2)(1-1/3)(
1-1/4)
...(
1-1/n)
=(1/2)(2/3)(3/4)……[(n-1)/n]
=1/n
所以an=[n(n+1)/2]*1/n^2=(n+1)/2n
上下除n
an=(1+1/n)贰哗蹿狙讷缴寸斜丹铆/2
n→∞,1/n→0
所以liman(n→∞)=(1+0)/2=1/2

Answer 2

Xn=（2^2—1）（3^2—1）（4^2—1）·······（n^2—1）/2^2
/3^2
/4^2
/5^2
/6^2
······/n^2
=(1*3/2^2)
*
(2*4/3^2)
(5*3/4^2)·······[（n—1）（n+1）/n^2]
打开括号
Xn=1/2*
（n+1）/n
=1/2+1/(2n)
所以随着n递增，Xn减小，求极限，lim
Xn=1/2