Question

已知tanα=2,求(sinα+cosα)²的值

Answer 1

原式=1+2sinαcosα=1+2sinαcosα/(sin²α+cos²α）
分式项分子分母同除以sinαcosα
原式=1+2/(tanα+1/tanα)=9/5

追问

1+2sinαcosα=1+2sinαcosα/(sin²α+cos²α）
怎么变得

追答

sin²α+cos²α这个等于1

Answer 2

已知tanα=2，可知α在第1 或第3 象限。
取参考圆，tanα=y/x=2, r = √(1²+2²) = √5
sinα=±2/√5=±2√5/5
cosα=±1/√5=±√5/5
sinαcosα =2/5

Answer 3

因为tana = 2，所以cota = 1/2
所以tana+cota = sina / cosa + cosa / sina = (sina^2+cosa^2)/(sina*cosa) = 1/(sina*cosa)
所以sina*cosa=1/(tana+cota)=1/(2+1/2) = 2/5
所以(sinα+cosα)² = 1+2sina*cosa=9/5

追问

有没有别的做法

追答

解法二：(sinα+cosα)²
=sina^2+cosa^2+2sinacosa
= (sina^2+cosa^2+2sinacosa) / 1
=(sina^2+cosa^2+2sinacosa) / (sina^2+cosa^2)
=(1+tana^2+2tana)/(1+tana^2)
=(1+2^2+2*2)/(1+2^2)
=9/5