Question

设点p是椭圆x2/4+y2=1上一点,F1F2是椭圆两个焦点,则PF1*PF2的最大值为多少？最小值是多少？

求高手教路！求详细过程！万分感谢！！

Answer 1

a^2=4 ，b^2=1 ，所以 c^2=a^2-b^2=3 ，
设 P（x，y）是椭圆上任一点，已知 F1（-√3，0），F2（√3，0），
所以 PF1=（-√3-x，-y），PF2=（√3-x，-y），
因此 PF1*PF2=(-√3-x)(√3-x)+(-y)*(-y)=x^2+y^2-3
=x^2+(1-x^2/4)-3=3/4*x^2-2 ，
由 -2<=x<=2 得 0<=x^2<=4 ，
所以 PF1*PF2 最小值为 -2 ，最大值为 3/4*4-2=1 。

此题如果是求 |PF1|*|PF2| 的最值，可以采用焦半径公式。
设 P（x，y）是椭圆上任一点，则 |PF1|=a+ex ，|PF2|=a-ex ，
|PF1|*|PF2|=(a+ex)(a-ex)=a^2-e^2*x^2 ，
由于 x^2 最小值为 0 ，最大值为 a^2 ，
所以 |PF1|*|PF2| 最大值为 a^2=4 ，最小值为 a^2-e^2*a^2=b^2=1 。

Answer 2

已同问设点p是椭圆x2/4+y2=1上一点,F1F2是椭圆两个焦点,则PF1*PF2的最大值为多少？最小值是多少？

设 P（x，y）是椭圆上任一点，已知 F1（-√3，0），F2（√3，0），
所以 PF1=（-√3-x，-y），PF2=（√3-x，-y），
因此 PF1*PF2=(-√3-x)(√3-x)+(-y)*(-y)=x^2+y^2-3
=x^2+(1-x^2/4)-3=3/4*x^2-2 ，
由 -2<=x<=2 得 0<=x^2<=4 ，
所以 PF1*PF2 最小值为 -2 ，最大值为 3/4*4-2=1 。

此题如果是求 |PF1|*|PF2| 的最值，可以采用焦半径公式。
设 P（x，y）是椭圆上任一点，则 |PF1|=a+ex ，|PF2|=a-ex ，
|PF1|*|PF2|=(a+ex)(a-ex)=a^2-e^2*x^2 ，
由于 x^2 最小值为 0 ，最大值为 a^2 ，
所以 |PF1|*|PF2| 最大值为 a^2=4 ，最小值为 a^2-e^2*a^2=b^2=1