设点p是椭圆x2/4+y2=1上一点,F1F2是椭圆两个焦点,则PF1*PF2的最大值为多少?最小值是多少?

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西域牛仔王4672747
2012-11-30 · 知道合伙人教育行家
西域牛仔王4672747
知道合伙人教育行家
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毕业于河南师范大学计算数学专业,学士学位, 初、高中任教26年,发表论文8篇。

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a^2=4 ,b^2=1 ,所以 c^2=a^2-b^2=3 ,
设 P(x,y)是椭圆上任一点,已知 F1(-√3,0),F2(√3,0),
所以 PF1=(-√3-x,-y),PF2=(√3-x,-y),
因此 PF1*PF2=(-√3-x)(√3-x)+(-y)*(-y)=x^2+y^2-3
=x^2+(1-x^2/4)-3=3/4*x^2-2 ,
由 -2<=x<=2 得 0<=x^2<=4 ,
所以 PF1*PF2 最小值为 -2 ,最大值为 3/4*4-2=1 。

此题如果是求 |PF1|*|PF2| 的最值,可以采用焦半径公式
设 P(x,y)是椭圆上任一点,则 |PF1|=a+ex ,|PF2|=a-ex ,
|PF1|*|PF2|=(a+ex)(a-ex)=a^2-e^2*x^2 ,
由于 x^2 最小值为 0 ,最大值为 a^2 ,
所以 |PF1|*|PF2| 最大值为 a^2=4 ,最小值为 a^2-e^2*a^2=b^2=1 。
Angel20000520
2012-12-02 · TA获得超过183个赞
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已同问设点p是椭圆x2/4+y2=1上一点,F1F2是椭圆两个焦点,则PF1*PF2的最大值为多少?最小值是多少?

设 P(x,y)是椭圆上任一点,已知 F1(-√3,0),F2(√3,0),
所以 PF1=(-√3-x,-y),PF2=(√3-x,-y),
因此 PF1*PF2=(-√3-x)(√3-x)+(-y)*(-y)=x^2+y^2-3
=x^2+(1-x^2/4)-3=3/4*x^2-2 ,
由 -2<=x<=2 得 0<=x^2<=4 ,
所以 PF1*PF2 最小值为 -2 ,最大值为 3/4*4-2=1 。

此题如果是求 |PF1|*|PF2| 的最值,可以采用焦半径公式。
设 P(x,y)是椭圆上任一点,则 |PF1|=a+ex ,|PF2|=a-ex ,
|PF1|*|PF2|=(a+ex)(a-ex)=a^2-e^2*x^2 ,
由于 x^2 最小值为 0 ,最大值为 a^2 ,
所以 |PF1|*|PF2| 最大值为 a^2=4 ,最小值为 a^2-e^2*a^2=b^2=1
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