Question

已知点P(2,-1),求过点 P且与原点距离最大的直线l的方程

答案利用的是过点P与直线OP垂直时，原点到l的距离最大
但为什么不能先设出l的方程为y+1=k(x-2),然后写出元点到直线距离d的公式，再利用基本不等式解出d的最值呢？为什么我用这个方法算出的结果不对呢？
求解答，谢谢

Answer 1

你的办法一样对, y+1=k(x-2), kx -y - 2k - 1 = 0
d =√[(2 - 0)² + (-1 - 0)²] = √5 = |k*0 - 0- 2k - 1|/√(k² + 1) = |2k+1|/√(k² + 1)
平方: 5(k² + 1) = (2k+1)²
k² - 4k + 4 = 0
(k - 2)² = 0
k = 2
y + 1 = 2(x - 2)
y = 2x -5

另外, 过P(2,-1)的圆是x²+y²=5
OP的斜率k = (-1-0)/(2 - 0) = -1/2
该圆过P的切线与OP垂直, 切线斜率 = -1/(-1/2) = 2

Answer 2

过P(2,-1)的圆是x^2+y^2=5
此直线与圆相切于P故直线斜率为2
所以直线方程为
y+1=2(x-2)

追问

为什么不能用我说的那种方法去解呢?

追答

你的方法是对的。但你解出来的K值不对

追问

那是为什么呢？

Answer 3

用你的方法也可以
设直线，将原点带入，可得关于k的函数
将分子拿到根号里，得上下二次型
再利用判别式法，德尔塔大于等于0，
解得0<=d<=5
如果答案不对，可能是你接错了，再检查一下

Answer 4

斜率存在时
直线l存在斜率k
设l的方程为y=kx
b
∵l经过点（-2，3）
所以-2k
b=3…………①
又∵原点到l的距离为2
∴|b|/根号（k^2
1）=2…………②
联立①②，解得
k=-5/12，b=13/6
∴l的方程为y=-5/12x
13/6
斜率不存在时，由于通过（-2，3）
所以直线方程式x=-2