Question

将函数f(x)=x/(x^2-2x-3)展开成x的幂级数

答案是：- [∞∑ n=1]1/4 [ 1/3^n+(-1)^(n-1) ] x^n ，[-1 ,1]

Answer 1

就是先化成部分分式：
令f(x)=x/[(x-3)(x+1)]=a/(x-3)+b/(x+1)
去分母得：x=a(x+1)+b(x-3)
即x=(a+b)x+a-3b
对比系数得：a+b=1, a-3b=0
两式相减，得：4b=1, 即b=1/4, 故a=3b=3/4
因此有f(x)=1/4*[3/(x-3)+1/(x+1)]=1/3* [-1/(1-x/3)+1/(1+x)]
根据1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+....
1/(1-x/3)=1+x/3+x^2/3^2+...+x^n/3^n+....
代入即得结果。