Question

求证1²+2²+3²+……+n²=（1/6*n（n+1）（2n+1））/n（n为正整数

Answer 1

立方差
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各式相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

n n n n
∑[﹙k＋1﹚³－k³]＝∑﹙3k²＋3k＋1﹚＝3∑k²＋3∑k＋n＝3﹙1²＋2²＋…n²﹚＋3/2n﹙n＋1﹚＋n
K=1 k=1 k=1 k=1

n
∑[﹙k＋1﹚³－k³]＝﹙n＋1﹚³－1³＝n³＋3n²＋3n
k=1
∴3﹙1²＋2²＋…n²﹚＋3/2n﹙n＋1﹚＋n＝n³＋3n²＋3n

3﹙1²＋2²＋…n²﹚＝n³＋3/2n²＋1/2n＝½n﹙2n²＋3n＋1﹚＝½n﹙n＋1﹚﹙2n＋1﹚
∴1²＋2²＋…n²＝1/6n﹙n＋1﹚﹙2n＋1﹚

Answer 3

数学归纳法